Opérations vectorielles usuelles

Produits

Produit Scalaire

Le produit  scalaire entre  deux  vecteurs  est  la somme  des produits  des composants  de chaque  vecteur. Comme son nom l’indique le produit scalaire  donne comme résultat une  valeur réelle. Il est  noté  par “.”, c’est pour cette raison qu’en Anglais, ce produit est appelé  “DOT Product“.

Coordonnées Cartésiennes

Considérons deux vecteurs $\overrightarrow{U}=U_{x}\overrightarrow{i}+U_{y}\overrightarrow{j}+U_{z}\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{V}=V_{x}\overrightarrow{i}+V_{y}\overrightarrow{j}+V_{z}\overrightarrow{k}$.

Le produit scalaire de  ces deux vecteurs donne $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=U_{x}V_{x}+U_{y}V_{y}+U_{z}V_{z}$. La valeur de ce produit scalaire est égale  à la surface du parallélogramme formé par ces deux vecteurs. Il est  a  noté que  le produit scalaire  $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||.||\overrightarrow{V}||cos(\alpha)$ avec  $\alpha$ l'angle  compris entre les deux  vecteurs.

Coordonnées Cylindriques

Rappelons les formules de passage des coordonnées cylindriques vers celles cartésiennes :  $x=\rho cos(\phi)$, $y=\rho sin(\phi)$, et z reste le même. Le produit scalaire s'écrit :
$\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=\left(\begin{array}{c} x_{u}\\y_{u}\\z_{u} \end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x_{v}\\y_{v}\\z_{v} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \rho_{u}cos(\phi_{u})\\\rho_{u}sin(\phi_{u})\\z_{u} \end{array}\right).\left(\begin{array}{c} \rho_{v}cos(\phi_{v})\\\rho_{v}sin(\phi_{v})\\z_{v}\end{array}\right)=\rho_{u}\rho_{v}cos(\phi_{u})cos(\phi_{v})+\rho_{u}\rho_{v}sin(\phi_{u})sin(\phi_{v})+z_{u}z_{v}$

$\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=\rho_{u}\rho_{v}[cos(\phi_{u})cos(\phi_{v})+sin(\phi_{u})sin(\phi_{v})]+z_{u}z_{v}=\rho_{u}\rho_{v}cos(\phi_{v}-\phi_{u})+z_{u}z_{v}$

Coordonnées Sphériques

En  coordonnées  cylindriques  nous avons  montré  que  le  produit scalaire s'écrit: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=\rho_{u}\rho_{v}cos(\phi_{v}-\phi_{u})+z_{u}z_{v}$, or nous savons que pour passer  du cylindrique au sphérique  nous utilisons les relations suivantes : $\rho=r sin(\theta)$  et  $z=r cos(\theta)$. En remplaçant  ces  deux  termes nous obtenons cette  expression de produit scalaireen sphérique: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=r_{u}\rho_{v}[cos(\phi_{v}-\phi_{u})+$.

Après simplification nous obtenons:  $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=r_{u}r_{v}.[cos(\theta_{u}-\theta{v})cos^2(\frac{\phi_{u}-\phi_{v}}{2})+cos(\theta_{u}+\theta{v})sin^2(\frac{\phi_{u}-\phi_{v}}{2})]$

Produit Vectoriel

Le produit  vectoriel entre  deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ donne en résultat un vecteur $\overrightarrow{W}$ orthogonale  au  plan  formé  par les deux autres vcetur. Ce produit est noté  par deux  maniéres: $\overrightarrow{W}=\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}=\overrightarrow{U} \otimes \overrightarrow{V}$. A cause  de  l’utilisation du symbole  $\otimes$ le produit vectoriel est appelé  “Cross  product” .La norme de  $\overrightarrow{W}$ est  :  $||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}||.||\overrightarrow{V}||.sin(\alpha)$  $\alpha$ étant  l’angle entre les deux  vecteurs.

Coordonnées Cartésiennes

Considérons deux vecteurs $\overrightarrow{U}=U_{x}\overrightarrow{i}+U_{y}\overrightarrow{j}+U_{z}\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{V}=V_{x}\overrightarrow{i}+V_{y}\overrightarrow{j}+V_{z}\overrightarrow{k}$.Le produit vectoriel de  ces deux vecteurs donne $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=\left(\begin{array}{c} x_{u}\\y_{u}\\z_{u} \end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{c} x_{v}\\y_{v}\\z_{v} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} y_{u}z_{v}-y_{u}z_{v}\\x_{u}z_{v}-x_{u}z_{v}\\x_{u}y_{v}-x_{u}y_{v} \end{array}\right)$

Coordonnées Cylindriques

Rappelons les formules de passage des coordonnées cylindriques vers celles cartésiennes :  $x=\rho cos(\phi)$, $y=\rho sin(\phi)$, et z reste le même. Le produit vectoriel s'écrit :
$\overrightarrow{U}\wedge\overrightarrow{V}=\left(\begin{array}{c} \rho_{u} cos(\phi_{u})\\ \rho_{u} sin(\phi_{u})\\z_{u} \end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c} \rho_{v} cos(\phi_{v})\\ \rho_{v} sin(\phi_{v})\\z_{v} \end{array}\right)$  = $\left(\begin{array}{c} \rho_{u} sin(\phi_{u})z_{v}-\rho_{v} sin(\phi_{v})z_{u}\\ \rho_{u} cos(\phi_{u})z_{v}-\rho_{v} cos(\phi_{v})z_{u}\\\rho_{v}\rho_{u} cos(\phi_{v}+\phi_{u}) \end{array}\right)$

Coordonnées Sphériques

En  coordonnées  cylindriques  nous avons  montré  que  le  produit scalaire s'écrit: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=\rho_{u}\rho_{v}cos(\phi_{v}-\phi_{u})+z_{u}z_{v}$, or nous savons que pour passer  du cylindrique au sphérique  nous utilisons les relations suivantes : $\rho=r sin(\theta)$  et  $z=r cos(\theta)$. En remplaçant  ces  deux  termes nous obtenons cette  expression de produit scalaireen sphérique: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=r_{u}\rho_{v}[cos(\phi_{v}-\phi_{u})+$.

Après simplification nous obtenons:  $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=r_{u}r_{v}.[cos(\theta_{u}-\theta{v})cos^2(\frac{\phi_{u}-\phi_{v}}{2})+cos(\theta_{u}+\theta{v})sin^2(\frac{\phi_{u}-\phi_{v}}{2})]$

Nebla & Laplacien

L'opérateur "Nebla" $\nabla$ est opérateur fictif sans  valeur qui est utilisé  pour faciliter  la définition et le calcule des  différents opérateurs  d'analyse vectorielle.

Considérons deux  fonctions  paramétriques U et V nous  pouvons écrire:  $\overrightarrow{grad}(UV)=U.\overrightarrow{grad}(V)-V.\overrightarrow{grad}(U)$.

  • En coordonnées cartésiennes : $\overrightarrow \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow {i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow j +\frac{\partial}{\partial z} \overrightarrow k$
  • En coordonnées cylindriques : $\overrightarrow \nabla =\frac{\partial}{\partial r} \overrightarrow U_\rho + \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial \phi})\overrightarrow U_\phi +(\frac{\partial}{\partial z}) \overrightarrow k $
  • En coordonnées sphériques :$\overrightarrow \nabla = (\frac{\partial}{\partial r}) \overrightarrow {U_r}+\frac{1}{r}(\frac{\partial}{\partial r})\overrightarrow {U_\phi} + \frac{1}{r .sin(\theta)}(\frac{\partial}{\partial \theta}) \overrightarrow {U_\theta}$

Le  laplacien  corresponds  à  : $\Delta = \overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{\nabla}$:

  • En coordonnées cartésiennes : $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
  • En coordonnées cylindriques : $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta ^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
  • En coordonnées sphériques :

Le gradiant

Le gradiant  noté $\overrightarrow{grad}$ est  un opérateur  vectoriel qui part d'une fonction scalaire  pour donner un vecteur dont chaque composante sur un axe donnée représente la dérivée partielle de cette fonction par rapport  à cet axe. Cette opération est  utilisé pour  représenter  la variation d'une grandeur donnée  au cours du temps. Pour une fonction U, $\overrightarrow{grad}(U)=\overrightarrow{\nabla}.U$

Considérons deux  fonctions  paramétriques U et V nous  pouvons écrire:  $\overrightarrow{grad}(UV)=U.\overrightarrow{grad}(V)-V.\overrightarrow{grad}(U)$.

  • En coordonnées cartésiennes :
    • Pour une fonction  V(x,y,z) décrivant  la  variation d'un  point  M(x,y,z) $\leftrightarrow \overrightarrow{grad}(V)=\frac{\partial V}{\partial x} \overrightarrow i + \frac{\partial V}{\partial y} \overrightarrow j +\frac{\partial V}{\partial z} \overrightarrow k$
  • En coordonnées cylindriques :
    • Pour une fonction  V($\rho$,$\phi$,z) décrivant  la  variation d'un  point  M($\rho$,$\phi$,z) $\leftrightarrow \overrightarrow{grad}(V)=\frac{\partial V}{\partial \rho} \overrightarrow {U_{\rho}} +\frac{1}{\rho} \frac{\partial V}{\partial y} \overrightarrow{ U_{\phi}} +\frac{\partial V}{\partial z} \overrightarrow k$
  • En coordonnées sphériques :
    • Pour une fonction  V(r,$\phi$,$\theta$) décrivant  la  variation d'un  point  M(r,$\phi$,$\theta$) $\leftrightarrow \overrightarrow{grad}(V)=\frac{\partial V}{\partial r} \overrightarrow {U_{r}} +\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \phi} \overrightarrow{ U_{\phi}} +\frac{1}{r.sin(\theta)}\frac{\partial V}{\partial \theta} \overrightarrow{ U_{\theta}}$

La divergence

La divergence noté div est  un opérateur  scalaire qui part d'un vecteur  pour donner une fonction scalaire qui est  la somme des dérives  de chaque composante du vecteur en question.La diverenge exprime  la variation scalaire du vecteur  en fonction du temps.Elle est calculée par cette formule: $div(\overrightarrow A)=\overrightarrow \nabla . \overrightarrow A$

  • En coordonnées cartésiennes :
    • Pour un vecteur $\overrightarrow A=A_x \overrightarrow i + A_y \overrightarrow j + A_z \overrightarrow k $ :  div($\overrightarrow{A}$)=$\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
  • En coordonnées cylindriques :
    • Pour un vecteur $\overrightarrow A=A_\rho \overrightarrow U_\rho+ A_\phi \overrightarrow U_\phi + A_z \overrightarrow k $:  div($\overrightarrow{A}$)=$\frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho A_\rho)}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
  • En coordonnées sphériques :
    • Pour un vecteur $\overrightarrow A=A_r \overrightarrow U_r +A_\phi \overrightarrow U_\phi +A_\theta \overrightarrow U_\theta$ :  div($\overrightarrow{A}$)=$\frac{1}{r^2}\frac{r^2 \partial A_r}{\partial r}+\frac{1}{r.sin(\theta)}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}+\frac{1}{r.sin(\theta)}\frac{\partial(sin(\theta). A_\theta)}{\partial \theta}$

Le rotationnel

Le rotationnel d'un vecteur $\overrightarrow A$ note $\overrightarrow {rot}(\overrightarrow A )$ est  un vecteur  exprimant  la rotation  d'un vecteur si  les composants  changement  infinitésimalement. Le rotationnel s'écrit sous la forme : $\overrightarrow {rot}(\overrightarrow A)=\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow A$ .

  • En coordonnées cartésiennes :
    • Pour un vecteur $\overrightarrow A=A_x \overrightarrow i + A_y \overrightarrow j + A_z \overrightarrow k$: $ \overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A})=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}) \overrightarrow{i} + (\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} )\overrightarrow{j}+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}) \overrightarrow{k}$
  • En coordonnées cylindriques :
    • Pour un vecteur $\overrightarrow A=A_\rho \overrightarrow U_\rho+ A_\phi \overrightarrow U_\phi + A_z \overrightarrow k $:  $ \overrightarrow{rot}(\overrightarrow A ) =(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{A_\theta}{\partial z}) \overrightarrow{U_\rho}$+$(\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho}) \overrightarrow{U_\phi}$+$\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\rho A_\phi)}{\partial \rho}-\frac{\partial A_\rho}{\partial \phi})\overrightarrow{k}$
  • En coordonnées sphériques :

Résumé

$\overrightarrow A$ $\overrightarrow{\nabla}$ $\overrightarrow {grad}(\overrightarrow V)$ $div (\overrightarrow V)$
Formule $\overrightarrow{grad}(U)=\overrightarrow{\nabla}.U$ $div\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}{\overrightarrow{A}}$
Cartésiennes $\begin{pmatrix}
V_x\\
V_y\\
V_z\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial U}{\partial x}\\
\dfrac{\partial U}{\partial y}\\
\dfrac{\partial U}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial A_x}{\partial x}\\
\dfrac{\partial A_y}{\partial y}\\
\dfrac{\partial A_z}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
Cylindriques $\begin{pmatrix}
V_r\\
V_\phi\\
V_z\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial U}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial U}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial U}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{r}
\dfrac{\partial (rA_r)}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial A_z}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
Sphériques $\begin{pmatrix}
V_r\\
V_\theta\\
V_\phi\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta}\\
\dfrac{1}{rsin(\theta)} \dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial U}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial U}{\partial \theta}\\
\dfrac{1}{rsin(\theta)} \dfrac{\partial U}{\partial \phi}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r sin(\theta)} \dfrac{\partial (sin(\theta)A_{\theta})}{\partial \theta}\\
\dfrac{1}{rsin(\theta)} \dfrac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\\
\end{pmatrix}$

$\overrightarrow A$ $\overrightarrow{\nabla}$ $\overrightarrow {rot}(\overrightarrow V)$
Formule $\overrightarrow{rot}({\overrightarrow V})=\overrightarrow{\nabla} \wedge \overrightarrow V $
Cartésiennes $\begin{pmatrix}
V_x\\
V_y\\
V_z\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial V_z}{\partial y}-\dfrac{\partial V_y}{\partial z}\\
\dfrac{\partial V_x}{\partial z}-\dfrac{\partial V_z}{\partial x}\\
\dfrac{\partial V_y}{\partial x}-\dfrac{\partial V_x}{\partial y}\\
\end{pmatrix}$
Cylindriques $\begin{pmatrix}
V_r\\
V_\phi\\
V_z\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_z}{\partial \theta}-\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial z}\\
\dfrac{\partial A_r}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r}[\dfrac{\partial (rA_\theta)}{\partial r}-\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}]\\
\end{pmatrix}$
Sphériques $\begin{pmatrix}
V_r\\
V_\theta\\
V_\phi\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta}\\
\dfrac{1}{rsin(\theta)} \dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{rsin(\theta)}[\dfrac{\partial (sin(\theta)A_\phi)}{\partial \theta}-\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \phi}]\\
\dfrac{1}{rsin(\theta)}\dfrac{\partial A_r}{\partial \phi}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (rA_\phi)}{\partial r}\\
\dfrac{1}{r}[\dfrac{\partial (rA_\theta)}{\partial r}-\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}]\\
\end{pmatrix}$