Circuit du premier ordre en régime transitoire

Introduction

Un circuit linéaire est dit du Premier Ordre si et seulement si l’équation différentielle décrivant son comportement en tant que système linéaire est de premier ordre, c’est-à-dire de la forme : $ f(t) = \alpha \dfrac{dy(t)}{dt}+\beta y(t)$. La solution de cette équation différentielle est de la  forme : $y(t)=A.exp(\frac{-t}{\tau})+B$. Mathématiquement parlant, la solution de l’équation   différentielle est  égale  à:  $y(t)=y_{H}(t)+y_{P}(t)$ avec  $y_{H}$ est la solution homogène et  $y_{P}$ est la solution particulière.

La solution particulière correspond à une constante, elle est calculée en annulant la première dérivée $\dfrac{dy}{dt}=0$, cependant  la  solution  homogène est obtenu  en  annulant  le second terme de  l’équation :  $\alpha \dfrac{dY_H}{dt}+\beta Y_H =0$

Circuit R-L

Une inductance est un dipôle linéaire non polarisé caractérise par son inductance dont l’unité est le Henry .
La loi d’Ohm liant le courant et la tension d’une bobine est donnée par la relation suivante : $U_L=L \dfrac{di_L}{dt}$.
Considérons le circuit suivant :

Nous allons appliquer la loi des mailles :  $E=U_L+U_R=L.\dfrac{di(t)}{dt}+R.i(t) \Longleftrightarrow \dfrac{E}{R}=\dfrac{L}{R}.\dfrac{di(t)}{dt}+i(t)$. Il est clair nous  allons résoudre  l’équation  différentielle  par rapport   au courant  i(t). La solution s’écrit  sous la forme de $i(t)=A.exp(-t/\tau) +B$

Charge du circuit R-L

Dans la phase de charge, nous savons  que  le courant électrique est nul  à l'état initial : $i(t=0)=0 A$ et que le courant maximal  traversant la bobine ne peut pas excéder le courant électrique traversant la résistance. Ce là nous permet d'écrire :

  • $i(0)=0=A exp(-0/\tau)+B=A+B=0$
  • $\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} i(t)=\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} A exp(-t/\tau)+B=B=\dfrac{E}{R}$

La  solution  finale s'écrit  donc $\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}.[1-exp(\dfrac{-t}{\tau})]}$ avec $\tau=\dfrac{L}{R}$ la constante du temps.
La courbe  suivante représente le courant i(t)  quand  le  circuit  RL est  en phase de charge avec une constante de temps  $\tau = 0.1s$ et  une tension d'alimentation  égale  à  1 Volt.

Chart by Visualizer

Nous pouvons remarquer que  quand  $t=\tau$  l'amplitude est égale à  63.2% de la  tension d'alimentation. Cette relation est utilisée expérimentalement pour retrouver la valeur de  $\tau$.

U(t) et Q(t) de la bobine en phase de charge

La tension de la bobine est obtenu par: $U_L(t)= L\dfrac{d i_L(t)}{dt}=E.exp(\dfrac{-t}{\tau})$

Chart by Visualizer

Quant à la charge électrique de la bobine $Q_L(t)$, elle est obtenue par intégration du courant électrique pour obtenir la courbe suivante:

Chart by Visualizer

Décharge du circuit R-L

Dans la phase de décharge, nous savons que  le courant électrique est maximum à l'état initial : $i(t=0)=\dfrac{E}{R}$ et que le courant minimale traversant la bobine nulle. Ce là nous permet d'écrire :

  • $i(t=0)=0=A exp(-0/\tau)+B=A+B=\dfrac{E}{R}$
  • $\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} i(t)=\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} A exp(-t/\tau)+B=B=0$

La  solution  finale s'écrit  donc $\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}.[exp(\dfrac{-t}{\tau})]}$ avec $\tau=\dfrac{L}{R}$ la constante du temps.

La courbe  suivante représente le courant i(t)  quand le circuit RL est en phase de charge avec une constante de temps  $\tau = 0.1s$ et  une tension d'alimentation  égale  à  1 Volt.

Chart by Visualizer

Nous pouvons remarquer que quand  $t=\tau$  l'amplitude est égale à  36.8% de la tension d'alimentation. Cette relation est utilisée expérimentalement pour retrouver la valeur de  $\tau$.

U(t) et Q(t) de la bobine en décharge

La tension de la bobine est obtenue par: $U_L(t)= L\dfrac{d i_L(t)}{dt}=-E.exp(\dfrac{-t}{\tau})$

Chart by Visualizer

Quant à la charge électrique de la bobine $Q_L(t)=\dfrac{-LE}{R^2}exp(\dfrac{-t}{\tau})$, elle est obtenue par intégration du courant électrique pour obtenir la courbe suivante :

Chart by Visualizer

Circuit R-C

Un condensateur est  un  dipôle  linéaire non polarisé  caractérise  par  sa capacité  dont l’unité est le Farad F.

La  loi d’Ohm liant  le  courant et la tension  d’une bobine est donnée  par  la relation suivante: $i(t)=C \dfrac{dU}{dt}$.

Considérons le circuit suivant :Les circuits RL et RC | Méthode Physique

 

Nous allons  appliquer la loi des  mailles :  $E=U_C+U_R=U_c+RC.\dfrac{dU_c(t)}{dt}=U_c+\tau.\dfrac{dU_c(t)}{dt}$, avec $\tau=RC$.Il est claire nous  allons résoudre  l’équation  différentielle  par rapport   au courant U_c(t). La solution s’écrit  sous la forme de $U_c(t)=A.exp(-t/\tau) +B$

Charge du circuit R-C

Dans la phase de charge, nous savons  que  la tension est nulle  à l'état initial : $U_c(t=0)=0 $ et que la tension maximalle  traversant le condensateur ne peut pas excéder la tension d'alimentation . Ce là nous permet d'écrire :

  • $U_c(0)=0=A exp(-0/\tau)+B=A+B=0$
  • $\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} U_c(t)=\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} A exp(-t/\tau)+B=B=E$

La solution finale s'écrit  donc $\boxed{U_c(t)=E[1-exp(\dfrac{-t}{\tau})]}$ avec $\tau=RC$ la constante du temps.
La courbe suivante représente le courant i(t)  quand le circuit RC est  en phase de charge avec une constante de temps  $\tau = 0.1s$ et une tension d'alimentation égale  à  1 Volt.

Chart by Visualizer

Nous pouvons remarquer que  quand  $t=\tau$  l'amplitude est égale à  63.2% de la  tension d'alimentation. Cette relation est utilisée expérimentalement pour retrouver la valeur de  $\tau$.

On retrouve aussi la charge électrique $Q_c(t)=CU_c(t)=CE(1-exp(\dfrac{-t}{\tau}))$, et  i_c(t) étant la dérivée de q(t) nous  obtenant  :  $i_c(t)=\dfrac{E}{R}.exp(-t\tau)$

Décharge du circuit R-C

Dans la phase de décharge, nous savons  que  le courant électrique est maximum à l'état initial : $U_c(t=0)=E$ et que le courant minimale  traversant la bobine nulle. Ce là nous permet d'écrire :

  • $U_c(t=0)=0=A exp(-0/\tau)+B=A+B=E$
  • $\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} U_c(t)=\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} A exp(-t/\tau)+B=B=0$

La  solution  finale s'écrit  donc $\boxed{U_c(t)=E.[exp(\dfrac{-t}{\tau})]}$ avec $\tau=CR$ la constante du temps.

La courbe  suivante représente le courant U_c(t)  quand  le  circuit  RC est  en phase de charge avec une constante de temps  $\tau = 0.1s$ et  une tension d'alimentation  égale  à  1 Volt.

Chart by Visualizer

Nous pouvons remarquer que  quand  $t=\tau$  l'amplitude est égale à  36.8% de la  tension d'alimentation. Cette relation est utilisée expérimentalement pour retrouver la valeur de  $\tau$.

Le courant électrique s'écrit sous la  forme  de  $i(t)=-\dfrac{E}{R}.exp(-t/\tau)$  et c'est déduit de k'expression de la  tension  $Q_c(t)=C.U_c(t)$.