Système de numérotation binaire

Notion de base numérique

Examinons un exemple concret pour comprendre la notion de base. Le nombre $X=223=2.100+2.10+3.1=2.10^2+2.10^1+3.10^0=(2,2,3).$Donc le nombre $X$ s'écrit comme une somme de puissances successives de 10 pondérée par des coefficients entiers. Le code obtenu ne comporte que des entiers compris entre 0 et 9: mathématiquement nous disons que $X=223$ est codé dans la base 10.

Aucun coefficient de la base 10 ne peut être supérieur à 10 donc ils font partie de l'ensemble suivant : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

De la base 10 à la base 2

Par  analogie à la base 10, la base  2 dite  base  binaire n'utilise que des coefficients  de l'ensemble {0,1} que nous appelons digits ou bit. Tout  nombre  entier  est  exprimé comme une somme  pondérée de puissance successive de  2. Concrètement comment faire de  passer de la base  10  à la base  2 et vice-versa? Pour cela; considérons le nombre $X=223$ .

Etape -1-

Il  nous faut  savoir  combien  de digit va-t-on utiliser pour coder le nombre $X$? Et  justement  une formule existe! Il suffit de calculer le  nombre : $n=1+E(\dfrac{\ln(X)}{\ln(2)})$ avec  E la partie entière inférieur. Pour notre exemple $n=1+E(\dfrac{\ln(223)}{\ln(2)})=1+E(7,8)=1+7=8$.

Etape-2-

Calculons maintenant une valeur particulière la valeur $MSB=2^{8-1}=2^7=128$.  Maintenant  construisons  ce tableau :

Etape -3-

La nous allons maintenant construire deux autres ligne de ce tableau en suivant l'algorithme expliqué en bas :

De la base 2 à la base 10

Pour  passer de  la base  2  à la base  10, de convertir les valeurs  binaires en  polynômes. Considérons  le nombre  binaire  $X_{)2}=$$1$$0$$1$$1$ $1$$1$$1$$1$.Ce nombre comporte  8 bits, la puissance maximale  de  2 que nous allons  utilisée est $2^{8-1}=2^7=128$. A partir de cette  puissance nous pouvons  calculer sa valeur en décimale:
$X_{)10}=$$1.2^7$+$0.2^6$+$1.2^5$+$1.2^4$+$1.2^3$+$1.2^2$+$1.2^1$+$1.2^0 $= $1.128$+$0.64$+$1.32$+$1.16$+$1.8$+$1.4$+$1.2$+$1.1$= 128+32+16+8+4+2+1=223

Termes Techniques

Bit(Fr)|Bit(Eng)

C'est  le caratére  minimale   d'un nombre  binaire  pouvant  prendre la valeur de  0 ou la valeur de 1.

Digit(Fr)|Digit(Eng)

Un  digit est  formé de  4 bits ,ayant  des  valeurs décimales  dans  l'intervalle des entiers [0..15].

Octet(Fr)|Byte(Eng)

Un  octet est formé par  8bits  donc  deux  digits  avec des valeurs dans  l'intervalle [0..255]

Mot(Fr)|Word(Eng)

Un  mot est formé de  16 bits donc  2 octets ,  4 digits.  Il a des valeur dans l'intervalle [0..65535]

Mot Double(FR)|DWord(Eng)

Un  mot double  est formé  de  32 bits donc 4 octets c'est  à dire 8 digits avec  des valeurs  dans  l'intervalle [0..4294967295]

Mot Quadruple(Fr)|QWord

Le mot quadruple est formé de  64 bits donc 8 octets donc  donc 16 digits.