Vecteurs, scalaires et systèmes de coordonnées

Vecteurs et scalaires

Grandeurs Scalaires

Une grandeur est  dite scalaire si  elle est  parfaitement connue  uniquement  par  sa valeur numérique.
Exemple: La masse d’un corps donnée, son volume, sa valeur, …

GRANDEURS VECTORIELLES

Une grandeur est dite vectorielle si elle n’est parfaitement  connue que  si nous  connaissons, son  module, direction et sens. Prenons  par exemple la vitesse d’un corps  en déplacement.  Le  module de ce vecteur est égale  à la  valeur  numérique  de la vitesse Dans  la figure le module est la distance  entre  le  point  A et  B. Sa direction  est  la droite  portant  ce vecteur.  Cette  droite est  parfaitement décrite  par l’angle θ compris  entre elle et  l’horizontale. Le sens  d’un vecteur est  par  contre  partant de  l’origine vers la  pointe du vecteur. Si cette  vitesse est sortante de  l’écran, elle est symbolisée par  un  disque  et  un cercle concentrique. Dans l’éventualité où elle est  dans  le sens  entrant cette vitesse est symbolisé par un  cercle et  une croix  concentriques.

Référentiel

Par définition une base est faite par un point d’origine O et trois ou deux vecteurs. La base est dite normée quand les vecteurs qui la constituent ont tous un module unitaire. Si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux la base est orthogonale. Une base normée et orthogonale est nommée orthonormée. Habituellement, nous utilisons la nation suivante pour indiquer une base B orthonormée: $B(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})$; avec : $||\overrightarrow{U}||=||\overrightarrow{V}||=||\overrightarrow{W}||=1$ et $\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{V} \perp \overrightarrow{W}$. Si nous ajoutons un point d’origine à cette base  nous construisons une répére: $R(O,B(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}))$. Finalement  on y ajoutant  aussi  la mesure du paramétre temps  nous  parlons alors  de référentiel:  $R(O,B(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}),t)$.

Si dans  l’ordre,  tourner d’un vecteur  vers  le suivant se fait dans  le sens  opposé d’une montre nous parlons d’une  base  directe, dans le cas  contraire elle est  dite  indirecte.

Système de coordonnées

Coordonnées cartésiennes

Dans un système de coordonnées cartésiennes, nous utilisons une base orthonormée $\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k}$ d’origine un point fixe usuellement nommée O. Un point M est obtenu en se déplaçant suivant trois translations dont les vecteurs sont respectivement parallèles à $\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k}$ pondérées par les valeurs respectives x, y, z: $M(x, y, z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x \overrightarrow{i}+y \overrightarrow{j}+ z \overrightarrow{k} =\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)$
Déplacement élémentaire : $\overrightarrow{dL}=dx \overrightarrow{i}+dy \overrightarrow{j}+dz \overrightarrow{k}$
Volume élémentaire :$dV = dx.dy.dz$
Surfaces élémentaires : $dS_{x}=dy.dz$ $dS_{y}=dz.dx$ et $dS_{z}=dx.dy$.
Vecteurs surfaces élémentaires : $\overrightarrow{dS_{x}}=dy.dz\overrightarrow{i}$ $\overrightarrow{dS_{y}}=dz.dx\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{dS_{z}}=dx.dy\overrightarrow{k}$.

Coordonnées Cylindriques

Dans un système de coordonnées cylindriques, nous utilisons une base orthonormée $\overrightarrow{U_{\rho}} ,\overrightarrow{U_{\phi}} ,\overrightarrow{k}$ d’origine un point fixe usuellement nommée M. Ce point M est obtenu en se déplaçant suivant deux translations et une rotation dont les vecteurs sont respectivement à $\overrightarrow{U_{\rho}} ,\overrightarrow{U_{\phi}} ,\overrightarrow{k}$ pondérées par les valeurs respectives $\rho, \phi, z$: $M(\rho, \phi, z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\rho \overrightarrow{{U_{\rho}}}+ z \overrightarrow{k} =\left(\begin{array}{c} \rho\\ \phi \\z \end{array}\right)$. Nous remarquons ici qu’en opposition à $\overrightarrow{k}$, les vecteurs $\overrightarrow{U_{\phi}}$ et $\overrightarrow{U_{\phi }}$  dépendent de la position du point M. Si  nous déplaçons  le point M  le  vecteur  $\overrightarrow{U_{\rho}}$ changerait de d’orientation en  fonction de la variation de l’angle  $\phi$ suivant un vecteur  tangentiel dans  le sense de la variation que nous appelons $\overrightarrow{U_{\phi}}$.C’est  pour cette raison  que le vecteur $\overrightarrow{U_{\phi}}$ apparait dans  le déplacement  élémentaire  mais  pas dans  le vecteur $\overrightarrow{OM}$

Déplacement élémentaire : $\overrightarrow{dL}=d\rho \overrightarrow{U_{\rho}}+\rho d\phi \overrightarrow{U_{\phi}}+dz \overrightarrow{k}$   Volume élémentaire: $dV = \rho d\rho d\phi dz$
Surfaces élémentaires: $dS_{\rho}=\rho.d\phi.dz$; $dS_{\phi}=\rho.d\rho.dz$ et $dS_{z}=\rho.d\rho.d\phi$.
Surfaces élémentaires: $\overrightarrow{dS_{\rho}}=\rho.d\phi.dz \overrightarrow{U_{\rho}}$; $ \overrightarrow{dS_{\phi}}=\rho.d\rho.dz \overrightarrow{U_{\phi}}$ et $\overrightarrow{dS_{z}}=\rho.d\rho.d\phi \overrightarrow{k}$.

Coordonnées Sphériques

Dans un système de coordonnées sphériques, nous utilisons une base orthonormée $\overrightarrow{U_{r}} ,\overrightarrow{U_{\phi}} ,\overrightarrow{U_{\theta}}$ d’origine un point mobile usuellement nommée M. Ce point M est obtenu en se déplaçant suivant deux rotations et une translation  dont les vecteurs sont respectivement $\overrightarrow{U_{r}}$, $\overrightarrow{U_{\phi}} $ ,$\overrightarrow{U_{\theta}}$ pondérées par les valeurs respectives $r, \phi, \theta $: $M(r, \phi, \theta) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=r \overrightarrow{{U_{r}}} =\left(\begin{array}{c} r \\ \phi \\ \theta \end{array}\right)$. Nous remarquons ici que tous les vecteurs dépendent de la position du point M, $\phi \in [0,2\Pi]$ et que  $\theta \in [0, \Pi] $

Déplacement élémentaire : $\overrightarrow{dL}=dr \overrightarrow{U_{r}}+r .sin(\theta).d\phi \overrightarrow{U_{\phi}}+r.d\theta \overrightarrow{U_{\theta}}$
Volume élémentaire : $dV = r^2 . sin(\theta). dr d\phi d\theta$
Surfaces élémentaires : $dS_{r}=r^2 . sin(\theta) d\theta d\phi$; $dS_{\phi}=r dr.d\theta$ et $dS_{\theta}=r. sin(\theta).dr.d\phi$.
Vecteurs surfaces élémentaires : $\overrightarrow{dS_{r}}=r^2 . sin(\theta) d\theta d\phi \overrightarrow{U_{r}}$, $\overrightarrow{dS_{\phi}}=r dr.d\theta \overrightarrow{U_{\phi}}$ et $\overrightarrow{dS_{\theta}}=r.sin(\theta) dr.d\phi \overrightarrow{U_{\theta}}$

Résume

Coordonnées Base Expression vecteur Déplacement élémentaire $\overrightarrow{d\ell}$ Surfaces Élémentaires dS Volume Élémentaire
Cartésiennes B(O, $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$)
$\begin{pmatrix}
x \in R\\
y \in R\\
z \in R
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}$
$\vec V=x \vec i+ y \vec j +z \vec k$
$\vec{d\ell}=\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}$
$\vec{d\ell}=dx \vec i+dy \vec j+dz \vec k$
$dS_x=dy.dz$
$dS_y=dx.dz$
$dS_z=dx.dy$
$dV=dx.dy.dz$
Cylindriques B(M,$\overrightarrow{U_r},\overrightarrow{U_\phi},\overrightarrow{U_z}$)
$\begin{pmatrix}
r \in [0,+\infty[ \\
\phi \in [0,2 \Pi [ \\
z \in R
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}r\\\phi\\z \end{pmatrix}$
$\vec V=r \vec {U_r}+z \vec k$
$\vec{d\ell}=\begin{pmatrix}dr\\rd\phi\\dz\\\end{pmatrix}$
$\vec{d\ell}=dr \vec{U_r}+rd\phi \vec{U_\phi}+dz \vec k $
$dS_r=r.d\phi.dz$
$dS_\phi=dr.dz$
$dS_z=r.dr.dz$
$dV=r.dr.d\phi.dz$
Sphériques B(M,$\overrightarrow{U_r},\overrightarrow{U_\theta},\overrightarrow{U_\phi}$)
$\begin{pmatrix}
r \in [0,+\infty[ \\
\phi \in [0,2 \Pi [ \\
\theta \in [0,\Pi[
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}r\\\theta\\\phi \end{pmatrix}$
$\vec V=r \vec {U_r}$
$\vec{d\ell}=\begin{pmatrix}dr\\rd\theta\\r sin(\theta)d\phi\\\end{pmatrix}$
$\vec{d\ell}=dr \vec U_r+r d\theta \vec U_\theta+r sin(\theta) d\phi \vec U_\phi$
$dS_r=r^2 .sin(\theta) d\theta .d\phi$
$dS_\theta=r.sin(\theta)d\phi$
$dS_\phi=rdrd\theta$
$dV=r^2.dr.sin(\theta)d\theta).d\phi$

Passage entre les différents type de coordonnées

Système cartésien et système cylindrique

Cosidérons  le point $M(x,y,z) \leftrightarrow \overrightarrow{OM}= x \overrightarrow{(i)}+y \overrightarrow{(j)}+z \overrightarrow{(k)}=\rho \overrightarrow{U_{\rho}}+z \overrightarrow{k}$ À partir de cette relation, nous allons  étblire des équations permettant le passage  d'un système vers  un autre. Pour rappel  l'angle  entre  $\overrightarrow{i} $ et $\overrightarrow{U_{\rho}}$ est  l'angle  $\phi$. Une simple  projection permet de deduire  que  $ x=\rho cos(\phi)$, $y=\rho sin(\phi)$ . Et inversement  on retrouve :  $ tan(\phi)=y/x $ et $\rho =\sqrt{x^2+y^2}=x/cos(\phi)=y/sin(\phi)$

Système cartésien et système sphérique

Cosidérons  le point $M(x,y,z) \leftrightarrow \overrightarrow{OM}= x \overrightarrow{(i)}+y \overrightarrow{(j)}+z \overrightarrow{(k)}=r \overrightarrow{U_{r}}$ À partir de cette relation, nous allons  établire des équations permettant le passage  d'un système vers  un autre. Pour rappel  l'angle  entre  $\overrightarrow{i} $ et $\overrightarrow{U_{\rho}}$ est  l'angle  $\phi$. Celui  entre $\overrightarrow{i}$ et ${\overrightarrow{U_{r}}}$est  l'angle $\theta$. En effectuant  une  projection  nous  obtenons: $x=r.sin(\theta) cos(\phi)$, $y=r.sin(\theta)sin(\phi)$ et $z=r.cos(\theta)$.

Inversement  nous  obtenons:  $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $tan(\phi)=y/x$ et $cos(\theta)= z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Système cylindrique et système sphérique

À partir des rubriques précédentes nous pouvons déduire les relations suivantes $\rho=r.sin(\theta)$ et $z=r.cos(\theta)$.

Inversement  on obtient $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et  $tan(\theta)= \rho/z$